نظام العد الستاعشري

نظام العد الستاعشري

ستاعشري	عشري	ثماني	ثنائي
0	0	0	0
1	1	1	1
2	2	2	10
3	3	3	11
4	4	4	100
5	5	5	101
6	6	6	110
7	7	7	111
8	8	10	1000
9	9	11	1001
A	10	12	1010
B	11	13	1011
С	12	14	1100
D	13	15	1101
E	14	16	1110
F	15	17	1111
10	16	20	10000
جدول 1، القاعدة الرقمية لنظم العد

وهو نظام عددي قاعدته مؤلفة من ستة عشر عنصرا. والعنصر يقصد به رمز معين. ولترميز هذه العناصر الست-عشرة نستخدم الأرقام العشرة المعروفة في النظام العشري، ونحتاج لستة رموز أخرى للتعبير عن بقية عناصر القاعدة الأساسية للنظام، وقد اصطلح على استخدام الحروف الستة الأولى من الأبجدية اللاتينية فتكون قاعدة النظام الستاعشري هي:

{0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B، C، D، E، F}. وعندما نرى عددا ستاعشريا فينبغي أن نتوقع إمكانية أن يتضمن الرموز العشرية أو أحد هذه الحروف الستة. وفي الحقيقة فإن الحروف الستة ينبغي أن تكون بشكلها الكبير لكن نظرا لعدم الالتباس فقد تكتب بالشكل الصغير.

وهنا بعد أن تعرفنا على قاعدة الأرقام الأساسية لهذه النظم العددية فمن الضروري معرفة كيفية كتابة الأرقام القاعدية للنظم العددية، كما في الجدول 1 (وقد ظللنا عمود الأرقام القاعدية لكل نظام عددي):

ملاحظة: أي عدد ينتمي إلى قاعدة نظامين عددين أو أكثر فإن قيمته هي نفسها في جميع النظم العددية. أي أن:

(0)₂=(0)₈=(0)₁₀=(0)₁₆.

 (1)₂=(1)₈=(1)₁₀=(1)₁₆.

(7)₈=(7)₁₀=(7)₁₆.

(9)₁₀=(9)₁₆.

مثال 1: إلى أي نظام عددي ينتمي العدد التالي 1001010 ؟،

الجواب: "لا نعلم"، فقد يكون عددا ثنائيا أو عددا ثمانيا أو عددا عشريا أو عددا ستاعشريا أو عددا من أي نظام عددي آخر.

فإذا كان يقصد به عدد ثنائي فهو ما يعادل العدد العشري 74, و إذا كان يقصد به عدد ثماني فهو ما يعادل العدد العشري 262664، وإذا كان يقصد به عدد عشري فهو العدد "مليون وألف وعشرة"، وإذا كان يقصد به عدد ستاعشري فهو ما يعادل العدد العشري 16781328.

إذن لا بد من تحديد النظام العددي الذي يتم تمثيل العدد به، ولذلك ينبغي وضع دليل جانبي صغير يحسم التساؤل.

مثال2: العدد 5A1 هو عدد ستاعشري حتما ولا يمكن أن يكون عشريا ولا ثمانيا ولا ثنائيا.

تحويل الأعداد الصحيحة بين النظامين الستاعشري والعشري

لمعرفة قيمة العدد الستاعشري في النظام العشري نعتمد القواعد العامة الأربعة نفسها المذكورة في النظام الثنائي، لكن مع الأخذ بعين الاعتبار أن عدد عناصر قاعدة النظام الستاعشري هي ستة عشر.

فمثلا لتحويل عدد ستاعشري صحيح إلى عدد عشري: نأخذ كل رقم من العدد الستاعشري ونضربه بالعدد 16 مرفوعا لقوة تساوي مرتبة الرقم مطروحا منها العدد واحد، ثم نجمع النواتج، فنحصل على العدد العشري المكافئ للعدد الستاعشري.

مثال: لحساب قيمة العدد الستاعشري 3DA نكتب:

(3DA)₁₆ =Ax16⁰+Dx16¹+3 x16²=10x16+13 x16+3 x256=(986)₁₀

ولتحويل عدد عشري صحيح إلى عدد ستاعشري: نقسم العدد العشري على 16 ونكرر قسمة الناتج مرارا آخذين في كل مرة باقي القسمة (مقيمين إياه حسب النظام الستاعشري) مرتبين البواقي من اليمين إلى اليسار تبعا لتسلسل الحصول عليها.

مثال: لتحويل العدد العشري 1000 إلى النظام الستاعشري نجري العمليات التالية:

باقي القسمة	قاعدة النظام	المقسوم
1000-16 x62=8	16	1000
62-16 x3=14	16	62
3-16x0 =3	16	3

ونأخذ بواقي القسمة بالتسلسل بدء من أول باق وهو العدد ثمانية ثم العدد 14 لكن هنا ننبه إلى أن العدد 14 لا يؤخذ كما هو وإنما يؤخذ بشكله في النظام الستاعشري أي الحرف E، ومن بعد ذلك نأخذ باقي القسمة التالي (وهو الأخير) والذي هو أصغر من قاعدة النظام. فنحصل على العدد 3E8 ويكون: (1000)₁₀=(3E8)₁₆

تحويل الجزء الكسري بين النظامين الستاعشري والعشري

لتحويل الجزء الكسري في النظام الستاعشري إلى النظام العشري: نأخذ كل رقم من العدد الستاعشري ونضربه بالعدد 16 مرفوعا لقوة تساوي مرتبة الرقم مأخوذة بالأس السالب، ونجمع النواتج، فنحصل على الجزء الكسري العشري الموافق.

مثال: العدد الستاعشري 0.F6 يحول إلى النظام العشري كما يلي:

0.F6=F x16^-1+6 x16^-2= (15÷16)+(6÷256)=0.9609375

ولتحويل عدد عشري كسري إلى عدد كسري ستاعشري نضرب العدد العشري بالعدد 16 ونقتطع منه الجزء الناتج يسار الفاصلة (مقيمين إياه حسب النظام الستاعشري)، واضعين إياه في المرتبة الأولى يمين الفاصلة لتشكيل العدد الستاعشري، ونكرر العملية حتى يصبح ما يبقى يمين الفاصلة من العدد العشري كله أصفارا.

مثال: العدد العشري 0.640625 يحول إلى النظام الستاعشري بأن نضربه بالعدد 16 فنحصل على 10.250000، نقتطع الجزء الصحيح منه وهو 10 ونقيمه في النظام الستاعشري وهو الحرف A فنضعه في المرتبة الأولى يسار الفاصلة 0.A. يتبقى من العدد العشري القيمة 0.25 فنعيد الضرب بالعدد 16 فنحصل على 4.00. نقتطع الرقم الظاهر يسار الفاصلة وهو 4 وتقيمه في النظام الستاعشري فيبقى نفسه، ونضعه في المرتبة التالية فنحصل على 0.A4، وبعد اقتطاع هذا الرقم نلاحظ أن ما تبقى من العدد العشري هو الصفر، وبالتالي تنتهي عملية التحويل. ويكون الرقم الستاعشري الموافق هو 0.A4. ونكتب:  (0.640625)₁₀=(0.A4)₁₆

ثانيا: العمليات الحسابية في النظام الستاعشري

نقتصر على عرض كيفية إجراء العمليات الحسابية الأربعة.

الجمع: ينبغي الانتباه في هذا النظام إلى أنه إذا كان مجموع الرقمين أقل من ستة عشر فإنه يمثل برمز واحد فمثلا نجد أن 9+1=A ولا نكتب 1+9=10، وكذلك فإن B+3=E وهكذا. والعملية المحورية في هذا النظام هي العملية: F+1=10 وعندما يكون مجموع رقمين ستاعشريين أكثر أو يساوي 16 فإننا نلجأ إلى هذه القاعدة، على غرار ما فعلنا في النظام الثماني.

مثال: لحساب قيمة مجموع 7+D نجري العملية كما يلي:  إن قيمة D هي 13 فهي تحتاج للرقم ثلاثة لكي تصبح ستة عشرة لذلك نجزء الرقم 7 كما يلي 7=3+4 ونكتب:

  D+7=D+(3+4)=(D+3)+4=10+4=14. è D+7=14.

وهكذا من أجل جمع أي عددين ستاعشريين فإننا نجمع أرقامهما بالطريقة نفسها.

مثال: 3BA6F+C2C9=47D38

الطرح: يمكن إجراء عملية الطرح بمساعدة مفهوم المتمم الأحادي للعدد الستاعشري مع الأخذ بعين الاعتبار أن المتمم الأحادي يكون ذلك العدد الذي يكون ناتج جمعه مع العدد الأساسي هو عدد كل خاناته مؤلفة من الحرف F.

مثال: لطرح العدد 6A من 5DC نأخذ العدد المطروح ونتممه مرتبة بإضافة الصفر نحو اليسار فنحصل على 06A، وبالتالي فإن متممه الأحادي هو F95، نضيف له العدد واحد فنحصل على F96 نجمع هذا العدد مع المطروح منه فنحصل على: 5DC+F96=1572، نحذف الواحد الظاهر أقصى اليسار فنحصل على 572، إذن: 5DC- 6A=572

ملاحظة: يمكن إجراء عملية الطرح بالطريقة الجبرية حيث تتم الاستعارة من مراتب لاحقة في حال كون الرقم المطروح أكبر من المطروح منه ولكن يجب الانتباه إلى أن الواحد المستعار من مرتبة لاحقة تكون قيمته ستة عشرة (وليس عشرة).

الضرب: وهو جمع متكرر ويمكن التعامل معه عبر حساب ناتج ضرب الرقمين وفقا للنظام العشري ثم تحويل الناتج إلى النظام الستاعشري فمثلا نعلم أن العشرة في النظام الستاعشري هي A  وبالتالي فإن A×A هو العدد مئة في النظام العشري نحوله إلى الستاعشري فنحصل على 64 وبالتالي AxA=64، وهكذا بالنسبة لبقية الأرقام.

القسمة: وهي أيضا عبارة طرح متكرر ويمكن إجراؤها في النظام الستاعشري جبريا مع الأخذ بعين الاعتبار القيم الفعلية للأعداد الستاعشرية ومراعاة أصول عملية الضرب كما مر أعلاه. فمثلا لقسمة العدد الستاعشري 64 على العدد خمسة نعلم من النظام العشري أن الناتج هو العدد العشري 20 وهو يكتب في النظام الستاعشري 14 وبالتالي: 64/5=14

-----------------0------------------

لا نسمح باستخدام المحتوى لغايات تجارية أو تسويقية تحت طائلة المساءلة القانونية والمحاسبة بأية طريقة ممكنة