العمليات الحسابية في النظام الثنائي

العمليات الحسابية في النظام الثنائي

يعتمد الحاسوب على منهجية مختلفة عن المنهجية التي نعتمدها في معالجة الأعداد والعمليات عليها، وجميع حساباته تؤول إلى عمليات حسابية في النظام الثنائي، وبخاصة فهي تؤول إلى عملية الجمع.

عملية الجمع: هي العملية الأساسية التي يعتمد عليها الحاسوب لإجراء جميع العمليات الأخرى.

وبهذا الصدد يجب أن نعرض حقيقتين:

أولا: أن الحاسوب لا يمكنه أن يجمع أي عددين على الإطلاق إلا العددين الصفر والواحد، وهو يحول أي عدد آخر إلى شكله الثنائي.

وثانيا: أن كافة العمليات الحسابية تحال إلى عملية الجمع، فلا يحتاج الحاسوب إذن إلا لقواعد جمع هذين العددين، وهي تتم طبقا للحالات الأربعة الآتية (تقرأ من اليسار لليمين):

1+1=10

1+0=0

0+1=1

0+0=0

وهذه القواعد الأربعة تكفي لإنجاز أية عملية حسابية في النظام الثنائي، وأصعب عملية تصادفه هي العملية1+1+1 ولحلها نجمع العددين الأوليين وفق القاعدة الرابعة فنحصل على العملية: 10+1 وناتجها 11، ونلاحظ أن الناتج يحتاج لخانتين ثنائيتين للتعبير عنه.

وهذه القواعد تجري على الجزء الكسري تماما كما تجري على الجزء الصحيح.

مثال: 10110.1101 +1.1011 =11000.1

ملاحظة: بقية العمليات المتقدمة في الحساب كالرفع إلى قوة وغيرها تؤول كما هو معلوم إلى العمليات الأربعة الأساسية.

عملية الطرح: هنا يلجأ الحاسوب لمفهوم متمم العدد الثنائي، وهو مفهوم هام جدا في نظام الحاسوب وبدونه لا يستطيع الحاسوب أن يجري العمليات الحسابية. ويعرف متمم العدد الثنائي بشكلين، كما يلي:

تعريف1-المتمم الأحادي للعدد الثنائي: هو عدد ثنائي مكافئ له بعدد الخانات وينتج منه بتبديل كل عنصر من العدد الثنائي بمتممه (تبديل الواحد بالصفر والصفر بالواحد).

نتيجة 1: الخانة الأخيرة إلى اليسار في المتمم الأحادي هي دائما الصفر (إذا كان العدد مكتوبا دون إضافة أصفار لليسار).

نتيجة 2: مجموع العدد الثنائي مع متممه الأحادي يعطي عددا تكون مراتبه بعدد مراتب العدد الأصلي وكل عناصره واحدات.

نتيجة 3: المتمم الأحادي للعدد الثنائي الفردي يكون زوجيا وبالعكس.

تعريف2-المتمم الثنائي: هو المتمم الأحادي مضافا إليه العدد واحد.

نستنتج أن مجموع العدد مع متممه الثنائي يعطي عددا تكون مراتبه مساوية لمراتب العدد الثنائي الأساسي زائدا واحد وتكون كل عناصره أصفارا ما عدا الواحد في أقصى اليسار.

ولطرح عددين ثنائيين صحيحين يقوم الحاسوب بالخطوات التالية:

1- يأخذ العدد المطروح فإذا كان عدد خاناته أقل من خانات العدد المطروح منه فإنه يكملها بالأصفار من جهة اليسار ليصبح العددان من نفس عدد الخانات.

2- يوجد المتمم الأحادي للعدد المطروح.

3- يضيف العدد واحد للمتمم الأحادي للعدد المطروح.

4- يجمع العدد الناتج من الخطوتين 2 و3 مع العدد المطروح منه.

5- يحذف الرقم واحد الظاهر في أقصى اليسار من ناتج عملية الجمع والعدد المتبقي هو ناتج الطرح.

مثال: طبق الخطوات المذكورة في إجراء عملية الطرح التالية (وضعنا عددين غير صحيحين لنبين إمكانية اتباع تلك المنهجية جبريا):

 110100101.01-11011.1 =110001001.11

الحل:

1- إن العدد المطروح هو 11011.1 نتمم عدد خاناته لتصبح مساوية بالعدد لخانات المطروح منه، فنضيف صفرا من جهة اليمين وأربعة أصفار من جهة اليسار فنحصل على العدد 000011011.10.

111100100.10

110100101.01 +

1110001001.11

2- نوجد المتمم الأحادي للعدد 000011011.10 وهو العدد 111100100.01

3-نضيف له العدد واحد فنحصل على العدد 111100100.10

4- نجمع هذا العدد الأخير مع العدد المطروح منه فنحصل على 1110001001.11.

5-نحذف الواحد الظاهر في أقصى اليسار فنحصل على العدد 110001001.11 وهو ناتج الطرح.

ملاحظة: إذا كان العدد المطروح أكبر من المطروح منه فإننا نجري العملية بالعكس ونضع الناتج بإشارة سالبة. أو يمكن أن نتبع خطوات العملية نفسها ثم نأخذ متمم الناتج بإشارة سالبة.

ملاحظة: الخطوتان 2 و3 هما عملية إيجاد المتمم الثنائي.

ملاحظة: يمكن إجراء عملية الطرح بالطريقة الجبرية وتعطي النتائج نفسها.

ملاحظة: عند عملية الجمع أو الطرح لعددين يتضمنان أجزاء كسرية ينبغي وضع المراتب الصحيحة والعشرية بمحاذاة بعضها البعض ابتداء من الفاصلة.

عملية الضرب: وهي عملية جمع متكرر، فيقوم الحاسوب بتكرار عملية جمع أحد العددين بمقدار قيمة العدد الآخر.

مثال: لضرب العددين 100x11 نكرر جمع العدد 100 مع نفسه ثلاث مرات فنحصل على: 100+100+100=1100.

إذا كان كلا العددين كسريين فيتم التخلص من الفاصلة وتجرى عملية الضرب ثم تعاد الفاصلة لمكانها.

ملاحظة: يمكن إجراء عملية الضرب بالطريقة الجبرية، حيث 1x1=1, 1x0=0, 0x1=0, 0x0=0.

عملية القسمة: وهي عملية طرح متكرر، فلقسمة عدد ثنائي على آخر يقوم الحاسوب بطرح العدد الثاني من الأول مرارا حتى يصبح ناتج الطرح صفرا، وتكون نتيجة القسمة هي عدد مرات الطرح. إذا لم يتم الوصول إلى ناتج طرح صفري فيتم الاستمرار بالعملية بإضافة صفر للمطروح منه واحتساب النتائج بعد الفاصلة.

مثال لقسمة العدد 10101 على العدد 101 نقوم بعملية الطرح المتكرر كما يلي:

10101-101=10000

10000-101=1111

1111-101=1010

1010-101=101

101-101=0

لدى إجراء الطرح خمس مرات حصلنا على الصفر، فناتج القسمة هو العدد خمسة، والعدد خمسة في النظام الثنائي يكتب 101 وهو ناتج القسمة. إذن نكتب: 10101÷101=101.

-------------------------0---------------------------

لا نسمح باستخدام المحتوى لغايات تجارية أو تسويقية تحت طائلة المساءلة القانونية والمحاسبة بأية طريقة ممكنة