Tuesday 2 April 2019

نظام العد الثنائي والتحويل إلى العشري وبالعكس


نظام العد الثنائي والتحويل إلى العشري وبالعكس 
وهو أبسط النظم العددية إذ أن أي عدد فيه يتكون من تتالي عنصرين فقط هما الصفر والواحد، وهما إسقاط مباشر لمفهومي "العدم" و "الوجود" فالعدم يعبر عنه بالعنصر "صفر"، والوجود يعبر عنه بالعنصر "واحد". وهذه المفاهيم تسمى مفاهيم منطقية فكان الأفضل على ما يبدو أن نشرح مفاهيم جبر المنطق، لكن قد تكون مفاهيم النظام الثنائي أكثر بساطة، علاوة على أنها تفيد في توضيح تطبيقات جبر المنطق، فلتكن البداية معه.
تعريف قاعدة النظام العددي بشكل عام: هي العناصر التي يتم منها تشكيل أي عدد في النظام العددي المعني. وأكبر رقم بين تلك العناصر تكون قيمته أقل من عدد عناصر قاعدة النظام برقم واحد.
تعريف قاعدة النظام الثنائي: وهي مؤلفة من العنصرين {0، 1}، وبالتالي فكل عدد ثنائي ينبغي أن يكون مكونا من هذين العنصرين عبر تتاليهما (مع إمكانية استخدام الإشارة الموجبة أو السالبة لأي عدد، كما في النظام العشري لكن الإشارة ليست من قاعدة النظام العددي وإنما هي دلالة على الجهة).
سنتطرق إلى مسألتين رئيستين هما تحويل الأعداد بين النظامين الثنائي والعشري، وكيفية إجراء العمليات الحسابية في النظام الثنائي.

تحويل الجزء الصحيح بين النظامين الثنائي والعشري
نظرا للاعتياد على مفاهيم الأعداد العشرية بسبب الاستخدام المتكرر في الحياة العامة، فإننا سنحتاج عند التعامل مع أي نظام عددي إلى معرفة ما يعنيه ذلك العدد وفقا للمألوف في النظام العشري. علما أن الأعداد الثنائية هي أبسط بكثير من الأعداد العشرية، فالعدد الثنائي لا يتضمن سوى الصفر أو الواحد. وفيما يأتي نعرض مجموعة من الأعداد الثنائية وما يكافئها بالقيمة في النظام العشري:
عدد ثنائي
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
مكافئ عشري
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

وبغية السهولة نجزء العدد إلى جزأين:
 الجزء الصحيح و الجزء الكسري (الجزء الكسري أي ما يقع يمين الفاصلة)، فنحصل على أربع حالات في تحويل العدد بين النظام الثنائي والعشري
هي:
حالة الجزء الصحيح:
1-تحويل الجزء الصحيح من العدد الثنائي إلى ما يقابله في النظام العشري.
والتحويل المعاكس
2-تحويل الجزء الصحيح من العدد العشري إلى ما يقابله في النظام الثنائي.
حالة الجزء الكسري:
3-تحويل الجزء الكسري من العدد الثنائي إلى ما يقابله في النظام العشري.
والحالة المعاكسة:
4-تحويل الجزء الكسري من العدد العشري إلى ما يقابله في النظام الثنائي.
وسنسلك النهج نفسه في النظم العددية الأخرى.

تحويل الجزء الصحيح من العدد الثنائي إلى ما يقابله في النظام العشري.
لتحويل العدد الصحيح من النظام الثنائي إلى النظام العشري
نأخذ كل رقم من العدد الثنائي مبتدئين من اليمين ونضربه بالعدد اثنين مرفوعا لقوة تساوي مرتبة الرقم ناقصة واحد، ثم نجمع النواتج، فنحصل على العدد العشري الموافق

مثال: لنحسب العدد العشري الذي يقابل العدد الثنائي 1011، نجري العمليات وفق القاعدة:
نأخذ كل رقم من العدد الثنائي ونضربه بالعدد اثنين مرفوعا لقوة تساوي مرتبة الرقم مطروحا منها العدد واحد، ثم نجمع النواتج، فنحصل على العدد العشري المكافئ للعدد الثنائي.
الرقم الأول بدء من اليمين هو الواحد، مرتبته هي الأولى، فقيمته العشرية هي
1x21-1 = 1x20 = 1x1=1
الرقم الثاني بدء من اليمين هو الواحد، مرتبته هي الثانية، فقيمته العشرية هي
1x22-1 = 1x21 = 1x2=2
الرقم الثالث بدء من اليمين هو الصفر، مرتبته هي الثالثة، فقيمته العشرية هي
0x23-1 = 0x22 = 0x4=0
الرقم الرابع بدء من اليمين هو الواحد، مرتبته هي الرابعة، فقيمته العشرية هي
1x24-1 = 1x23 = 1x8=8
نجمع النواتج فنحصل على: 1+2+0+8=11
وبالتالي فالعدد الثنائي 1011 يكافئ بالقيمة العدد 11 في النظام العشري.

ملاحظة1: المقصود بالرقم  digit أي هو العدد المؤلف من مرتبة واحدة، وبالتالي فالرقم في النظام الثنائي سيكون إما صفرا وإما واحدا.
ملاحظة2: يكون العدد الثنائي فرديا إذا كان الرقم الأول فيه من اليمين هو الواحد، ويكون زوجيا إذا كان ذلك الرقم هو الصفر.
ملاحظة3: في جميع أنحاء العالم يتم التعامل مع الأعداد وفقا للمنهجية العربية بدء من اليمين إلى اليسار (ومرتبة الرقم تحتسب اعتبارا من الآحاد)، وهذا بحد ذاته دليل كبير وهام على دور الحضارة العربية المحوري في العلوم الرياضية.
ملاحظة4: قولنا "مقيما بالنظام العشري" هامة جدا في حالة كون قاعدة النظام العددي أكبر من عشرة كما في حالة النظام الستاعشري، لكن لا تتضح أهميتها في حالة النظم العددية التي قاعدتها أصغر من عشرة.
وهنا بعدما علمنا أنه يمكن للعدد أن يؤخذ بأكثر من نظام عددي نجد أنه ينبغي تحديد النظام الذي يؤخذ فيه العدد لكي نتمكن من التعامل معه بشكل سليم، وهكذا نصطلح على وضع دليل جانبي صغير يدل على قاعدة النظام المعتمد للعدد المأخوذ. وهكذا نعبر عن النتيجة المحصلة في المثال كما يلي: (1011)2 = (11)10 ومعنى ذلك أن قيمة العدد الثنائي  1011 تساوي قيمة العدد 11 في النظام العشري.

تحويل الجزء الصحيح من العدد العشري إلى ما يقابله في النظام الثنائي.
تحويل الجزء الصحيح من العدد العشري إلى النظام الثنائي: نقسم العدد العشري على العدد اثنين ونكرر قسمة الناتج مرارا آخذين في كل مرة باقي القسمة حسب تسلسل ظهورها مرتبين إياها من اليمين إلى اليسار وفي المرتبة الأخيرة نضع باقي القسمة الأخير.
مثال:
تحويل العدد 30 من النظام العشري إلى الثنائي:
نأخذ بواقي القسمة بدءا من الأول ونرتبها من اليمين نحو اليسار، ثم نضع في المرتبة الأخيرة أقصى اليسار باقي القسمة الأخير. وبالتالي نحصل على أن العدد الثنائي المقابل للعدد 30 هو العدد: 11110


باقي القسمة
حساب الباقي
قاعدة النظام
المقسوم
0
30–2x15=0
2
30
1
15-2x7=15-14=1
2
15
1
7-2x3=7-6=1
2
7
1
3-2x1=3-2=1
2
3
1
1-2x0=1
2
1



0
وتلاحظ أن تحويل العدد الصحيح من أي نظام عددي إلى أي نظام عددي آخر يعطي عددا صحيحا. والباقي يكون حتما أصغر من قاعدة النظام (وإلا لكنا قسمناه عليها.)
ملاحظة: يمكن كتابة القواعد العامة كما يلي :
القاعدة العامة الأولى: لتحويل العدد الصحيح في أي نظام عددي إلى النظام العشري نأخذ كل رقم من العدد (مقيما بالنظام العشري) ونضربه بقاعدة النظام (مقيمة بالنظام العشري) مرفوعة لقوة تساوي مرتبة الرقم مطروحا منها العدد واحد، ونجمع النواتج، فنحصل على العدد العشري المكافئ له بالقيمة
والتحويل المعاكس:
القاعدة العامة الثانية: لتحويل العدد العشري الصحيح إلى نظام عددي آخر نقسم العدد العشري على قاعدة النظام العددي (مقيمة بالنظام العشري) ونكرر قسمة الناتج مرارا، آخذين في كل مرة باقي القسمة (مقيما حسب النظام العددي الذي يتم التحويل إليه)، مرتبين البواقي حسب تسلسل ظهورها من اليمين إلى اليسار

تحويل الجزء الكسري بين النظامين الثنائي والعشري
أما حالة الجزء الكسري (أي الجزء الواقع يمين الفاصلة) فيتم التعامل معه كما يأتي.
القاعدة العامة الثالثة: لتحويل الجزء الكسري في أي نظام عددي إلى النظام العشري نأخذ كل رقم من العدد (مقيما بالنظام العشري) ونضربه بقاعدة النظام (مقيمة بالنظام العشري) مرفوعة لقوة تساوي مرتبة الرقم مأخوذة بالأس السالب، ونجمع النواتج، فنحصل على الجزء الكسري العشري الموافق
فلتحويل الجزء الكسري في النظام الثنائي إلى النظام العشري: نأخذ كل رقم من العدد الثنائي ونضربه بالعدد اثنين مرفوعا لقوة تساوي مرتبة الرقم مأخوذة بالأس السالب، ونجمع النواتج، فنحصل على العدد الكسري العشري الموافق.
مثال:
 لتحويل العدد الثنائي الكسري 0.1011 إلى القيمة العشرية له نجري الخطوات التالية:
الرقم الأول يمين الفاصلة هو واحد نضربه بالعدد اثنين مرفوعا للأس ناقص واحد
1 x2-1=1 x0.5=0.5
الرقم الثاني يمين الفاصلة هو صفر نضربه بالعدد اثنين مرفوعا للأس ناقص اثنين
0 x2-2=0
الرقم الثالث يمين الفاصلة هو واحد نضربه بالعدد اثنين مرفوعا للأس ناقص ثلاثة
1 x2-3=1 x0.125=0.125
الرقم الرابع يمين الفاصلة هو واحد نضربه بالعدد اثنين مرفوعا للأس ناقص أربعة
1 x2-4=1 x0.0625=0.0625
نجمع النواتج فنحصل على العدد  0.6875  وبالتالي فإن
(0.1011)2=(0.6875)10
ملاحظة 1: مرتبة كل رقم في العدد الكسري تبدأ اعتبارا من الفاصلة نحو اليمين.

أما عملية تحويل العدد العشري إلى ثنائي فقاعدتها كما يلي:
القاعدة العامة الرابعة: لتحويل العدد العشري الكسري إلى نظام عددي آخر نضرب العدد العشري بقاعدة النظام العددي (مقيمة بالنظام العشري)، مقتطعين الجزء الصحيح من ناتج الضرب (مقيمين إياه حسب النظام العددي)، واضعين إياه في المرتبة التالية يمين الفاصلة لتشكيل العدد الموافق، ونكرر العملية على الجزء المتبقي من العدد العشري حتى يصبح ما يتبقى منه يمين الفاصلة كله أصفارا.
فلتحويل عدد عشري كسري إلى النظام الثنائي نضرب العدد العشري بالعدد اثنين ونقتطع منه الجزء الناتج يسار الفاصلة (وهو ما يعتبر الجزء الصحيح من الناتج)، واضعين إياه في المرتبة الأولى يمين الفاصلة لتشكيل العدد الثنائي، ونكرر العملية حتى يصبح ما يبقى يمين الفاصلة من العدد العشري كله أصفارا.
ملاحظة: اقتطاع الجزء الصحيح من ناتج الضرب يعني أن يبقى مكانه الصفر يسار الفاصلة.
مثال: لنحول العدد الكسري العشري 0.05 إلى عدد ثنائي:
الشرح
المقتطع
عملية الضرب
نضرب العدد العشري باثنين ونقتطع الرقم الظاهر يسار الفاصلة وهو صفر
0
0.05 x2=0.1
نضرب الناتج باثنين ونقتطع الرقم الظاهر يسار الفاصلة وهو صفر
0
0.1 x2=0.2
نضرب الناتج باثنين ونقتطع الرقم الظاهر يسار الفاصلة وهو صفر
0
0.2x2=0.4
نضرب الناتج باثنين ونقتطع الرقم الظاهر يسار الفاصلة وهو صفر
0
0.4 x2=0.8
نضرب الناتج باثنين ونقتطع الرقم الظاهر يسار الفاصلة وهو واحد فيتبقى 0.6
1
0.8 x2=1.6
نضرب 0.6 باثنين ونقتطع الرقم الظاهر يسار الفاصلة وهو واحد فيتبقى 0.2
1
0.6 x2=1.2
نضرب 0.2 باثنين ونقتطع الرقم الظاهر يسار الفاصلة وهو صفر
0
0.2 x2=0.4
نضرب الناتج باثنين ونقتطع الرقم الظاهر يسار الفاصلة وهو واحد
0
0.4 x2=0.8
نلاحظ أنه سبق أن ضربنا بالعدد 0.4 وبالتالي تتكرر الأرقام الظاهرة بعده

لتشكيل العدد الثنائي الموافق نأخذ الأرقام المقتطعة في العملية ونضعها جميعا يمين الفاصلة مبتدئين من أولها فيكون العدد الثنائي المقابل للعدد العشري كما يلي:  0.0000110011…
نتيجة: إذا كان العدد الكسري العشري منتهي المراتب فليس من الضروري أن يكون مقابله الثنائي منتهيا.
ملاحظة1: تحويل أي عدد كسري من نظام عددي إلى أي نظام عددي آخر يعطي عددا كسريا.
ملاحظة2: عند وجود عدد يتضمن جزأين أحدهما صحيح والآخر كسري فإنه يمكن تحويل كل جزء على حدة وفي النهاية يتم ضم الجزأين.
أو يمكن ترقيم عناصر العدد نحو اليسار واليمين بدء من الفاصلة، كما في المثال التالي:
مثال: أوجد العدد العشري المقابل للعدد الثنائي: 1100110101.101001
الحل: نرقم عناصر العدد كما يلي
الأس
-6
-5
-4
-3
-2
-1
.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
الرقم
1
0
0
1
0
1
.
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
نضرب كل رقم من أرقام العدد الثنائي بالعدد اثنين مرفوعا للأس الذي هو مبين في السطر الأول. كما يلي:
1x29+1x28+0x27+0x26+1x25+1x24+0x23+1x22+0x21+1x20
+1x2-1+0x2-2+1x2-3+0x2-4+0x2-5+1x2-6
وناتج هذه العمليات هو: 821.640625،
إذن نكتب: (1100110101.101001)2 =(821.640625)10
ملاحظة: توجد طرق تحويل أخرى للحالات الأربعة السابقة وهي تحويرات مختلفة للمبدأ نفسه.

----------------------------0----------------------------
لا نسمح باستخدام المحتوى لغايات تجارية أو تسويقية تحت طائلة المساءلة القانونية والمحاسبة بأية طريقة ممكنة

No comments:

Post a Comment